Título del Tema

Para liar a un grupito de espectadores:

Si nos miramos en un espejo con un sombrero cogido en nuestra mano derecha, vemos que nuestra imagen en el espejo tiene el sombrero sujeto en su mano izquierda, es decir, que si saliera del espejo la imagen y se superpusiera con nosotros no coincidirían los sombreros. Ha habido inversión, hecho que conocemos desde que éramos pequeños. Pero vemos algo raro, y es que si el sombrero nos lo ponemos en la cabeza, si ahora saliera nuestra imagen del espejo ¡sí podría superponerse con nosotros! en el sentido de que el sombrero no sale en los pies, sino en la cabeza, mientras que si lo sostengo con la mano sí hay inversión. Es decir, que el espejo invierte derecha con izquierda, pero no arriba con abajo. Entonces podemos pensar que es un efecto de la particular construcción del espejo, que no es igual su izquierda-derecha que su arriba-abajo. Pero si nos ponemos horizontales, suspendidos por cables desde el techo, con nuestra cabeza a la izquierda, los pies a la derecha, brazo derecho arriba y brazo izquierdo abajo, observamos que de nuevo el espejo invierte el sombrero que sujetamos en nuestra mano derecha con la imagen que lo lleva en su izquierda, pero de nuevo no invierte nada si el sombrero lo llevamos en la cabeza, de nuevo el sombrero sale en ese mismo lado y nuestra imagen puede supoerponerse con nosotros sin que haya invertido arriba con abajo . O sea, parece como si el espejo supiera dónde está nuestra izquierda y nuestra derecha para invertirlas, pero despreciara nuestro arriba y nuestro abajo, nos pongamos como nos pongamos. Y si nos ponemos en diagonal, suspendidos por cables, lo mismo. ¿Por qué ocurre esto? ¿Por qué el espejo tiene manía a nuestro arriba-abajo y no lo invierte, mientras que siempre invierte nuestra izquierda-derecha? ¿Y cómo sabe él dónde tenemos la cabeza y los pies y dónde las dos manos para no invertir unas y sí invertir las otras, si los espejos se supone que no piensan?... ¿O es que sí que piensan y tienen algún tipo de conciencia de la cual no nos habíamos dado cuenta nunca, hasta que nos paramos a analizar estas cosas?.... ¿Eh? ¿Eh?...

Daroca,

Martin Gardner tiene un libro publicado que se titula "Izquierda y derecha en el cosmos" donde podrás encontrar, entre otras cosas, su opinión sobre la cuestión que planteas. Muy brevemente, la respuesta es que el espejo no invierte derecha-izquierda sino que invierte el plano normal a él; es decir, el norte-sur o anverso-reverso o como quieras llamarlo.

Así mismo, existe una anécdota de Lewis Carroll el la que sitúa a la Alicia real delante de un gran espejo con una naranja en su mano derecha y le pregunta por qué la imagen tiene la naranja en la otra mano. La respuesta de Alicia es, cuanto menos, muy original y, curiosamente, coherente con la explicación anterior.

Finalmente creo recordar que había una argumentación más "filosófica" sobre esta cuestión de la que, desafortunadamente, no me acuerdo (aunque si tienes un interés especial podría ocuparme en buscarla).

Muchas gracias por tu respuesta, Alfred.

Pues sí, ésa es la explicación más extendida -una de las dos que se suelen emplear- y con la que se satisface a cualquiera, porque se explica un concepto que no se conocía y parece que con eso está ya todo explicado. Sin embargo todavía no he encontrado por Internet la respuesta que yo creo que es la correcta a la pregunta formulada.

La primera cosa que se argumenta, la cual es verdad, es que -como bien dices- el espejo no invierte izquierda-derecha o en arriba-abajo sino en lejos-cerca, es decir, que en realidad la imagen que vemos somos nosotros pero "dados la vuelta como un calcetín". O sea, que la nariz de la imagen sale cerca de nuestra nariz, pero la nuca de la imagen sale mucho más lejos de nuestra nuca. Es como si nos hubieran absorbido y nos hubieran dado la vuelta. Como se aprecia bien esta inversión es si ponemos el espejo en el suelo y nos ponemos de pie sobre él.

Otra explicación, que también se emplea mucho, y que también es verdad si se mira el problema desde otro enfoque, es que el espejo no invierte nada. Porque la mano que tiene el sombrero sigue mirando al este (por ejemplo), tanto en el original como en la imagen; la otra mira al oeste, la cabeza al norte y los pies al sur, tanto en el original como en la imagen. Otra forma de comprender que el espejo realmente no invierte nada es si miramos desde detrás de nosotros mismos, como sería este dibujo:


en donde original e imagen tienen el mismo aspecto porque ya no hacemos la trampa de mirar en medio del objeto y de su imagen, sino a distancia de ambos.


Ambas explicaciones son correctas, aunque con enfoques del problema diferentes. Pero ninguna es la explicación al enigma. Ya que tanto si consideramos que el espejo invierte en profundidad como si consideramos que el espejo no invierte nada, nuestra apreciación de que invierte izquierda-derecha sería tan sólo una ilusión o una particular interpretación nuestra. Vale, pero admitiendo que es una ilusión, ¿Por qué en esa ilusión parecen invertirse izquierda-derecha, pero no arriba-abajo? Ya sabemos que no se invierte nada o que se invierte sólo en la dimensión de profundidad, vale, que lo de izquierda-derecha solo nos "parece". Bien, pero ¿por qué "parece" invertirse izquierda derecha y no "parece" invertirse arriba-abajo? Esa discriminación que hace el espejo del arriba-abajo, que no le da la gana invertirlo ni siquiera como ilusión, es lo intrigante, y veo que todo el mundo que intenta explicar la cuestión se sale por la tangente con ese tipo de desmitificaciones sobre lo que hace el espejo, que son muy ciertas pero no acaban de explicar esa diferencia entre la dimensión transversal y la longitudinal.

A ver si alguien lo sabe, y si no, lo subiré en un par de días, porque lo tengo escrito y sólo es copiar y pegar.

Bueno, pues creo que la explicación correcta de la paradoja es que el espejo sí que invierte (en el sentido que le hemos dado a la palabra invertir) ambas dimensiones (derecha-izquierda y arriba-abajo), y que el observar inversión o no, depende de los particulares planos de simetría que tiene el cuerpo humano.

¿Qué significa invertir en arriba-abajo? ¿Acaso que la cabeza nuestra apareciera en los pies y viceversa? No. Es que eso tampoco ocurre de izquierda a derecha. Por ejemplo, si tenemos el sombrero en nuestra mano derecha, éste no aparece en el otro lado opuesto (mientras todavía estamos situados frente al espejo) sino en ese mismo lado. Pues lo mismo pasa con la cabeza, que aparece en el mismo lado en el que está, no aparece en los pies. Por tanto, no es verdad que haya diferencias: ocurre exactamente lo mismo de arriba a abajo que de izquierda a derecha.

¿Entonces por qué tenemos la sensación de que la imagen del espejo tiene invertidas derecha e izquierda y no tenemos la misma sensación respecto del arriba y abajo? Porque si nuestra imagen saliera del espejo no podría superponerse con nosotros según lo que tenemos a la derecha y a la izquierda, y en cambio sí que podría superponerse según el arriba y abajo. Este fenómeno es por algo que pasa en nuestro cuerpo, es porque tenemos un plano de simetría que nos atraviesa longitudinalmente, de cabeza a pies (es decir, que tenemos una mano a cada lado, una pierna a cada lado, una oreja a cada lado, un ojo a cada lado...) y en cambio no tenemos ningún plano de simetría transversal que pase por nuestra cintura (es decir, que no tenemos una cabeza arriba y otra abajo, una nariz arriba y otra abajo, un par de rodillas abajo y otro par de rodillas arriba, etc)

Vamos a mostrar que la paradoja sucede por esta razón. Vamos a ver qué pasaría si tuviéramos un plano de simetría que pasara por nuestra cintura y no existiera el plano de simetría que pasara por nuestra cabeza. Es decir, imaginemos que fuéramos como las figuras de la baraja de póker, que tuviéramos dos cabezas, una arriba y otra abajo, es decir un plano de simetría en la cintura, pero imaginemos también que no tuviéramos plano de simetría longitudinal, es decir, que de nuestro lado derecho nos saliera un brazo del centro del cuerpo (no del hombro, porque eso iría en contra del plano de simetría transversal), pero en nuestro lado izquierdo no hubiera ningún brazo. Si en estas condiciones nos pusiéramos un sombrero en la cabeza superior y saliera nuestra imagen del espejo, ya no podría superponerse con nosotros, porque habría invertido el arriba con el abajo. En cambio no notaríamos inversión derecha-izquierda, ya que si tuviéramos una flor en nuestro único brazo (que hemos quedado que sale exactamente de la cintura), nuestra imagen especular no la tendría al otro lado, ya que serían superponibles original e imagen, girando uno de los dos (como también hay que girar la imagen en el caso clásico). Luego ahí tenemos un ejemplo de que cambiando nuestra simetría, el espejo ya no invierte lo que invertía y pasa a invertir lo que antes no invertía. Antes el espejo cambiaba izquierda con derecha (porque nuestro plano de simetría nos dividía en izquierda y derecha, no en arriba y abajo), mientras que ahora nos cambia arriba con abajo (porque ahora nuestro plano de simetría nos divide en arriba y abajo, no en izquierda y derecha).

Por tanto, no es verdad que el espejo tenga alguna preferencia por la derecha-izquierda del cuerpo humano y las invierta, tanto si estamos verticales como horizontales, mientras que despreciara el cabeza-pies del ser humano, esté como esté. Lo que invierte es aquello que tiene un plano de simetría. Dicho de otra forma, el espejo invierte todo, lo que pasa es que sólo en donde hay plano de simetría (y a la vez no existe un plano de simetría perpendicular a él) lo podemos apreciar, porque existen dos lados homólogos, mientras que si no hay plano de simetría no hay un lado y otro homólogos para apreciar la inversión. En otras palabras, allí adonde pongamos un eje paralelo a la superficie del espejo, podremos establecer una derecha y una izquierda, si al situarnos en la dirección del eje llamamos arriba y abajo a los extremos del eje, y si por ese eje pasa un plano de simetría (y perpendicular al espejo), el espejo invertirá esa izquierda con esa derecha para poder comparar puntos homólogos, uno a la derecha y otro a la izquierda, como una mano y la otra mano, un pie y el otro pie, una oreja y la otra oreja... Si no hay plano de simetría no podremos apreciar la inversión, como ocurre en el caso de nuestra cabeza con nuestros pies, que el espejo los invierte pero no nos damos cuenta.

Y también se necesita que el plano de simetría perpendicular a ése no exista, porque de lo contrario tampoco se notaría la inversión, como sería por ejemplo un hombre con cuatro cuerpos y cuatro cabezas, dispuestas hacia los cuatro puntos cardinales, que si la cabeza superior llevara sombrero, si saliera la imagen del espejo sí que podría superponerse con el original, ya que la inversión que hubiera hecho el espejo en esa dimensión, quedaría destruida por el otro plano de simetría.

Tocayo, tocayo.......

¡¡ Digo yo !! Saludos, Melgar

Si que es un come cocos si... yo prefiero la explicación física de que simplemente es un objeto plano que refleja la luz que le llega y nos la devuelve a los ojos punto por punto, sin realmente invertir nada. je je je

Daroca,

Seguramente es debido a mi poco conocimiento de este tema particular que hay aspectos en el razonamiento planteado que no están claros y por ello me parecen estar teñidos de un carácter artificioso.

No entiendo que las figuras de la baraja de póker tengan un plano de simetría que pasa por la cintura. Estaría de acuerdo en que tienen un eje (que no un plano) de simetría de 180º y que está situado en el centro de la carta. Por lo tanto no comprendo cómo es posible que una figura reflejada en un espejo pueda ser objeto de una inversión “arriba-abajo”.

Así mismo, tampoco entiendo que la personas tengamos un plano de simetría longitudinal porque en sensu stricto nuestra mitad derecha no es igual a nuestra mitad izquierda. Dicho plano de simetría longitudinal existiría sólo grosso modo.

Finalmente tampoco entiendo la explicación que das en relación a que la inversión sólo se produce cuando existe un plano de simetría perpendicular a la superficie especular. Es fácil pensar en contraejemplos: ¿qué pasaría entonces cuando pusiésemos frente a la luna azogada un objeto carente de planos de simetría? Si tomamos el personaje literario de John Silver como ejemplo y lo ponemos frente al espejo seguiríamos observando la “inversión derecha-izquierda” a pesar de que tiene una pata de palo y no existe plano de simetría longitudinal. Es más, si enfrentamos “La habitación” de Van Gogh al espejo también veríamos una “inversión derecha-izquierda” en la habitación. Igual resultado observaríamos situando delante del espejo una planta o un bonsái de formas totalmente irregulares y sin ninguna simetría.

En cambio si se acepta como válida la explicación de que el espejo sólo produce una “inversión anverso-reverso” cualquiera de los contraejemplos anteriores no supondrían dificultad alguna. Es por todo ello, y siempre teniendo presente la idea medieval según la cual entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem (ya en Summa Theologiae se expresa una idea similar), que la inversión anverso-reverso es tal vez la más adecuada.

Alfred. Tienes mucha razón, las cartas de póker no tienen un plano de simetría transversal sino un centro de inversión en el centro de la carta. Si tuvieran un plano de simetría transversal la imagen de abajo sería un reflejo de la de arriba, como si ésta se reflejara en el agua de un lago, y no es así, sino que lo que aparece a la izquierda en la imagen de arriba, sale a la derecha en la imagen de abajo. Eso es un centro de inversión, que si trazas una recta desde el piquito del corazón superior hasta el piquito del corazón inferior, esa recta pasa justo por el centro de la carta, y las distancias de ambos piquitos a este centro son iguales. Y así con todos los demás dibujitos.



En el ejemplo que he puesto yo, de que nos imaginemos que nosotros tenemos un plano de simetría transversal, es verdad que lo he comparado a las figuras de la baraja, pero para que se entendiera lo que quería decir, que nos imaginemos con una cara arriba y otra bajo, una nariz arriba y otra abajo. Pero una carta de póker no es un ejemplo de plano de simetría sino algo que tiene dos cabezas, dos narices, etc. En ese sentido lo he comparado con una figura de póker, sin que sea exactamente lo mismo.




También es verdad lo que dices de que, si lo miramos bien, las personas no tenemos un plano de simetría longitudinal exacto, porque se han hecho composiciones fotográficas de reflejar nuestra parte derecha en nuestra parte izquierda y viceversa, y salen caras raras en las que no nos reconocemos:


Aquí hay más: http://www.amigosmuseodeltraje.com/2011/02/18/¿es-tu-rostro-simetrico-echoism-de-julian-wolkenstein/


Pero aproximadamente sí. Es decir, en el sentido de que tenemos un ojo a cada lado, una oreja a cada lado, etc. Pero si nos ponemos a estudiar la precisión de ese plano de simetría, descubrimos que no es realmente simétrico, que los dos ojos no son exactamente iguales, ni la mitad izquierda y derecha de los labios, que las distancias de los miembros no coinciden exactamente a un lado y a otro, etc. Se necesita un eje que definamos como vertical, para tener noción de una derecha y una izquierda, y un plano de simetría aproximado si pretendemos emparejar elementos homólogos, sin que haga falta una simetría total. Y luego hay que romper la simetría marcando uno de los dos elementos homólogos con alguna señal, si queremos que la imagen especular no sea superponible.






Si pusiéramos frente al espejo una persona con una pata de palo (como John Silver de La Isla del Tesoro), y además con un loro posado en uno de sus hombros, esa persona no tendría una simetría perfecta izquierda-derecha, porque la pata de palo está un lado y no en el otro, porque el loro está en un hombro y no en el otro, pero sí que tiene izquierda-derecha. Tiene simetría, pero simetría rota. La tiene pero rota. Yo puedo decir que la pierna de la pata de palo es la izquierda, y que el loro lo tiene en el hombro derecho. Y si puedo hablar de derecha e izquierda y de elementos homólogos a ambos lados, ya es lo que hace falta para ver el fenómeno del que hablamos, no hace falta que sea una simetría perfecta en todos sus elementos. También en el ejemplo de antes, al tomar un sombrero en la mano derecha quedaría rota la simetría, pero sigue habiendo elementos homólogos a la derecha y a la izquierda, mientras que arriba y abajo no hay elementos homólogos. Una planta o un bonsai sin simetría derecha-izquierda, también tiene una simetría rota, ya que a ambos lados hay ramas, sólo que hay notables diferencias. En cambio, el arriba con el abajo ya son muy diferentes, porque arriba del bonsai está la copa y abajo del bonsai las raíces. Luego el fenómeno se observa tanto con una persona que sostiene un sombrero en una mano, como con John Silver, como con un bonsai, porque los tres tienen una simetría rota, pero tiene un principio de simetría. Como no sería observable el fenómeno es precisamente si el plano de simetría fuera perfecto, ya que entonces objeto e imagen serían superponibles: si yo fuera perfectamente simétrico y mi imagen saliera del espejo, se superpondría perfectamente conmigo. Sólo observo que no se superpone si rompo la simetría teniendo un sombrero en la mano o con una pata de palo, etc.







¿Y acaso no ocurre lo mismo con un objeto sin ninguna simetría? Pues sí, objeto e imagen se llaman enantiomorfos o enantiómeros, y no son superponibles, como en una molécula de carbono que tiene cuatro sustituyentes diferentes (no tiene plano de simetría)


Las dos imagenes de la figura superior no son superponibles, sólo lo son cuando hay un plano de simetría, es decir cuando la simetría no está rota (que sería lo mismo que si no me pusiera yo un sombrero en mi mano y me reflejara en el espejo sin hacer nada con mi mano derecha que la distinga de mi mano izquierda). En esta figura de abajo se ven dos moléculas que tienen dos bolitas rojas iguales, y por tanto tienen un plano de simetría, no hay simetría rota, y por tanto objeto e imagen son superponibles.






La paradoja que intentamos explicar en este hilo NO ES POR QUÉ UN ESPEJO INVIERTE LA IMAGEN, sino POR QUÉ EN EL CASO HUMANO, SE INVIERTE IZQUIERDA-DERECHA Y NO ARRIBA-ABAJO. Y la solución es porque gracias al plano de simetría longitudinal que tiene nuestro cuerpo (aunque imperfecto en sus pequeños detalles) podemos apreciar elementos homólogos a ambos lados del plano, y cuando rompemos la simetría cogiendo un sombrero o levantando una mano, la imagen especular no se puede superponer con nosotros (como le ocurre a la primera molécula). Sin embargo, este fenómeno no lo notamos en el caso de la dimensión arriba-abajo, ya que al no existir plano transversal en nuestra cintura, no hay elementos homólogos arriba y abajo (dos cabezas, dos pares de rodillas, dos ombligos, etc) y no podemos jugar a superponer una cabeza con otra, un par de rodillas con otro, un ombligo con otro, etc, en el caso de que rompiéramos la simetría poniéndonos un sombrero o diferenciando con algo.

La explicación de la inversión anverso-reverso es cierta, pero no explica la paradoja que nos ocupa (en mi opinión), mientras que si lo enfocamos de esta forma sí, como acabamos de ver. En cambio el punto de vista de los planos de simetría con simetría rota (porque hemos marcado uno de los elementos homólogos con un sombrero, una pata de palo, etc) sí lo explica. Insisto en que no quiero explicar por qué un espejo invierte la imagen, que eso ya está por todo Internet, sino por qué en el caso de un ser humano frente al espejo hay diferencia entre izquierda-derecha y arriba-abajo, cuando en principio no tiene que haber dimensiones privilegiadas. Eso era lo curioso.

Saludos, y gracias, Alfred.

esa paradoja del espejo la "descubri" con unos 10 años y la suelo contar como inicio en algún juego y ciertamente la gente se lia jajajaja